Progressão Aritmética (PA): termo geral e soma

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando um valor fixo ao anterior. Esse valor fixo se chama razão. PAs aparecem em juros simples, parcelas, empilhamentos e vários problemas do ENEM.

Identificando uma PA

Numa PA, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma:

$$r = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots$$

Por exemplo, $3, 7, 11, 15, \dots$ é uma PA de razão $r = 4$.

• Se $r > 0$, a PA é crescente.
• Se $r < 0$, é decrescente.
• Se $r = 0$, é constante.

Fórmula do termo geral

Para achar qualquer termo sem listar todos, use:

$$a_n = a_1 + (n - 1)\,r$$

Aqui $a_n$ é o termo que você quer, $a_1$ é o primeiro termo, $n$ é a posição e $r$ é a razão.

Exemplo: na PA $3, 7, 11, \dots$, qual é o 20º termo? $a_{20} = 3 + (20 - 1)\cdot 4 = 3 + 76 = 79$.

Soma dos termos

Somar muitos termos de cabeça é inviável — por isso existe a fórmula da soma dos $n$ primeiros termos:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)\,n}{2}$$

A ideia por trás dela é genial (atribuída a Gauss ainda criança): some o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante — todos os pares dão o mesmo valor.

Exemplo: some os 20 primeiros termos da PA acima. Já sabemos que $a_{20} = 79$. Então $S_{20} = \dfrac{(3 + 79)\cdot 20}{2} = \dfrac{82 \cdot 20}{2} = 820$.

Termos equidistantes

Uma propriedade útil: em qualquer PA, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é constante e igual a $a_1 + a_n$. Isso ajuda a resolver questões sem achar todos os termos.

Dica: o termo do meio

Se a PA tem um número ímpar de termos, o termo central é a média entre o primeiro e o último. Isso costuma economizar muito tempo em prova.

Erros comuns

• Usar $n$ em vez de $(n - 1)$ na fórmula do termo geral (o 1º termo tem $n = 1$, então o fator vira zero).
• Esquecer de calcular $a_n$ antes de usar a fórmula da soma.
• Confundir razão de PA (que se soma) com razão de PG (que se multiplica).

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