Função do 2º grau: parábola, vértice e raízes

A função do 2º grau (ou função quadrática) modela lançamentos, áreas, lucros e tudo que sobe e desce. O gráfico dela é uma parábola, e entender seus elementos resolve boa parte das questões de vestibular.

A forma geral

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$$

O termo $ax^2$ é o que a diferencia da função afim. Os coeficientes $a$, $b$ e $c$ controlam o formato e a posição da parábola.

Concavidade: para cima ou para baixo?

O sinal de $a$ define para onde a parábola "abre":

• Se $a > 0$: concavidade para cima (tem um ponto de mínimo).
• Se $a < 0$: concavidade para baixo (tem um ponto de máximo).

As raízes

As raízes são os valores de $x$ onde $f(x) = 0$ — onde a parábola cruza o eixo horizontal. Usamos Bhaskara:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac$$

O discriminante $\Delta$ diz quantas raízes reais existem: duas se $\Delta > 0$, uma se $\Delta = 0$, nenhuma se $\Delta < 0$.

O vértice: o coração da parábola

O vértice é o ponto mais alto (ou mais baixo) da curva. Suas coordenadas são:

$$x_v = -\frac{b}{2a}, \qquad y_v = -\frac{\Delta}{4a}$$

O $x_v$ é onde ocorre o máximo ou mínimo; o $y_v$ é o valor desse máximo ou mínimo. Esse é um dos conceitos mais cobrados no ENEM em problemas de otimização (lucro máximo, altura máxima, etc.).

Exemplo resolvido

Considere $f(x) = -x^2 + 4x - 3$.

Como $a = -1 < 0$, a parábola abre para baixo — logo tem um ponto de máximo.

Raízes: $\Delta = 4^2 - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4$. Então $x = \dfrac{-4 \pm 2}{-2}$, o que dá $x = 1$ e $x = 3$.

Vértice: $x_v = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$ e $y_v = -\dfrac{4}{4 \cdot (-1)} = 1$. O ponto máximo é $(2, 1)$.

Onde a parábola corta o eixo vertical

É simples: quando $x = 0$, $f(0) = c$. Ou seja, o coeficiente $c$ é exatamente onde a curva cruza o eixo $y$.

Erros comuns

• Trocar o sinal em $x_v = -\frac{b}{2a}$.
• Confundir "duas raízes" com "duas soluções positivas" — as raízes podem ser negativas.
• Achar que $a$ muda a posição, quando na verdade ele controla a abertura e a concavidade.

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